7. Sınıf MEB Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 47-48 Cevapları
7. Sınıf MEB Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 47-48 cevapları içerisinde 0,999… devirli ondalık gösteriminin 1 sayısına eşit olması sayı doğrusu, kesirler ve çarpma işlemi kullanılarak açıklanmaktadır. Uygulayalım 18 etkinliğinde ise devirli ondalık gösterimlerden iki basamaklı doğal sayılar bulunmaktadır.
Düşün-Tartış-Açıkla 11
0,9999… devirli ondalık gösteriminin 1’e eşit olup olmadığı konusunda hangi öğrencinin görüşü doğrudur?
Kısa Cevap: Mete’nin görüşü doğrudur.
Detaylı Cevap: 0,999… ifadesindeki 9 rakamları sonsuza kadar tekrar etmektedir. Devirli ondalık gösterimi kesre dönüştürdüğümüzde:
0,(9) = 9/9 = 1
Bu nedenle 0,999… sayısı 1’den küçük değildir. 0,999… ile 1 birbirine eşittir.
1. Strateji: A ve B noktalarına karşılık gelen ondalık gösterimleri bulunuz.
Kısa Cevap: A = 0,99, B = 0,999
Detaylı Cevap: Sayı doğrusunda 0,9 ile 1 arasındaki aralık büyütüldüğünde 1’den önceki nokta 0,99 olarak görülür. Bu nokta A’dır. 0,99 ile 1 arasındaki aralık tekrar büyütüldüğünde 1’den önceki değer 0,999 olur. Bu nokta da B’dir.
a) A ve B noktalarına karşılık gelen ondalık gösterimlerden hangisi 1’e daha yakındır? Neden?
Kısa Cevap: B noktası daha yakındır.
Detaylı Cevap:
1 − 0,99 = 0,01
1 − 0,999 = 0,001
0,001 değeri daha küçük olduğundan 0,999 sayısına karşılık gelen B noktası 1’e daha yakındır.
b) 0,999… ifadesindeki 9’lar sonsuza kadar devam ettiğinde bu sayı hangi sayıya karşılık gelir?
Kısa Cevap: 1 sayısına karşılık gelir.
Detaylı Cevap: Ondalık basamaklara her 9 eklendiğinde sayının 1’e uzaklığı onda bir oranında küçülür. 9’lar sonsuza kadar devam ettiğinde sayı ile 1 arasında fark kalmaz. Bundan dolayı 0,999… = 1 olur.
2. Strateji: 0,999… devirli ondalık gösterimine karşılık gelen rasyonel sayıyı a/b biçiminde yazınız ve sonucu 1 ile karşılaştırınız.
Kısa Cevap: 9/9 = 1
Detaylı Cevap: Bir rakamın devrettiği 0,(9) gösteriminde paya 9, paydaya 9 yazılır:
0,(9) = 9/9
9’un 9’a bölümü 1 olduğundan sonuç 1’e eşittir.
3. Strateji: 1/3 yerine 0,3333… yazınız ve bu sayıyı 3 ile çarparak elde ettiğiniz sonucu yorumlayınız.
Kısa Cevap: 0,333… × 3 = 0,999… = 1
Detaylı Cevap:
1/3 = 0,333…
Her iki taraf 3 ile çarpıldığında:
1/3 × 3 = 0,333… × 3
1 = 0,999…
Böylece 0,999… sayısının 1’e eşit olduğu bir kez daha gösterilmiş olur.
a) Stratejileri uyguladıktan sonra Sena ve Mete’nin görüşlerinden hangisine katıldığınızı yazınız.
Kısa Cevap: Mete’nin görüşüne katılıyorum.
Detaylı Cevap: Kullanılan üç strateji de 0,999… sayısının 1’e eşit olduğunu göstermektedir. Bu nedenle Mete’nin açıklaması matematiksel olarak doğrudur.
b) Başlangıçtaki görüşünüz ile stratejileri uyguladıktan sonraki görüşünüz arasında değişiklik var mı? Açıklayınız.
Kısa Cevap: Evet, başlangıçta 0,999… sayısının 1’den küçük olduğunu düşünebilirdim. Stratejileri uyguladıktan sonra sayının 1’e eşit olduğunu gördüm.
Detaylı Cevap: 0,999 gibi sonlu bir gösterim 1’den küçüktür. Ancak 0,999… sayısında 9’lar sonsuza kadar devam etmektedir. Sayının kesir karşılığının 9/9 olması, sonucun 1’e eşit olduğunu kanıtlamaktadır.
4,(9) devirli ondalık gösteriminin eşit olduğu rasyonel sayıyı bulunuz.
Kısa Cevap: 5
Detaylı Cevap: 0,(9) = 1 olduğuna göre:
4,(9) = 4 + 0,(9) = 4 + 1 = 5
Uygulayalım 18
AB ve CD iki basamaklı doğal sayılar ve 1,(AB) = 51/33 ve 0,(CD) = 70/77 olduğuna göre AB/CD’nin ondalıklı gösterimini bulunuz.
Kısa Cevap: 0,6
Detaylı Cevap: İlk kesrin ondalık gösterimi bulunur:
51/33 = 17/11 = 1,545454… = 1,(54)
Buna göre AB = 54 olur.
İkinci kesrin ondalık gösterimi:
70/77 = 10/11 = 0,909090… = 0,(90)
Buna göre CD = 90 olur.
İstenen oran:
AB/CD = 54/90 = 3/5 = 0,6
Sonuç olarak AB/CD’nin ondalıklı gösterimi 0,6dır.
Kitabın diğer sayfalarına ait çözümleri 7. Sınıf Matematik MEB Ders Kitabı Cevapları (1. ve 2. Kitap) sayfasında bulabilirsiniz.
Konu Özeti
Sonsuza kadar devam eden 0,999… devirli ondalık gösterimi 1’e eşittir. Bu eşitlik sayı doğrusu, 0,(9) = 9/9 işlemi ve 1/3 = 0,(3) eşitliğinin iki tarafını 3 ile çarpma yöntemleriyle doğrulanabilir. Sonlu bir gösterim olan 0,999 ise 1’den küçüktür ve 0,999… ile karıştırılmamalıdır.