9. Sınıf MEB Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 64 Cevapları 2026-2027, 19. Uygulamada ℕ, ℤ, ℚ ve ℝ sayı kümelerinin dört temel işlem karşısındaki kapalılık özelliklerini incelemektedir. Çözümlerde bir işlemin neden kapalı olduğu veya neden kapalı olmadığı örneklerle gösterilmiştir.
9. Sınıf MEB Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 64 Cevapları
19. Uygulama - Sayı Kümelerinin Dört İşleme Göre Kapalılığını İnceleme
1. Soru: ℕ, ℤ, ℚ ve ℝ kümelerinin dört işleme göre kapalılığıyla ilgili varsayımlarınızı yazınız. Örnek Cevap:
ℕ → Toplama ve çarpma kapalı; çıkarma ve bölme kapalı değildir.
ℤ → Toplama, çıkarma ve çarpma kapalı; bölme kapalı değildir.
ℚ → Toplama, çıkarma, çarpma ve sıfıra bölme hariç bölme kapalıdır.
ℝ → Toplama, çıkarma, çarpma ve sıfıra bölme hariç bölme kapalıdır.
ℕ → Toplama ve çarpma kapalı; çıkarma ve bölme kapalı değildir.
ℤ → Toplama, çıkarma ve çarpma kapalı; bölme kapalı değildir.
ℚ → Toplama, çıkarma, çarpma ve sıfıra bölme hariç bölme kapalıdır.
ℝ → Toplama, çıkarma, çarpma ve sıfıra bölme hariç bölme kapalıdır.
2. Soru: Her kümeden iki eleman seçerek dört işlemi uygulayınız.
| Küme | Seçilen Sayılar | Toplama | Çıkarma | Çarpma | Bölme |
|---|---|---|---|---|---|
| ℕ | 4, 7 | 11 ∈ ℕ | −3 ∉ ℕ | 28 ∈ ℕ | 4/7 ∉ ℕ |
| ℤ | −3, 5 | 2 ∈ ℤ | −8 ∈ ℤ | −15 ∈ ℤ | −3/5 ∉ ℤ |
| ℚ | 2/3, 3/4 | 17/12 ∈ ℚ | −1/12 ∈ ℚ | 1/2 ∈ ℚ | 8/9 ∈ ℚ |
| ℝ | √2, √3 | √2 + √3 ∈ ℝ | √2 − √3 ∈ ℝ | √6 ∈ ℝ | √(2/3) ∈ ℝ |
2-a) Soru: İki doğal sayının toplamı her zaman doğal sayı mıdır? Cevap: Evet. a,b ∈ ℕ ise a + b ∈ ℕ'dir. Aynı özellik ℤ, ℚ ve ℝ kümelerinde de vardır.
2-b) Soru: İki tam sayının farkı her zaman tam sayı mıdır? Cevap: Evet. a,b ∈ ℤ ise a − b ∈ ℤ'dir. Bu özellik ℚ ve ℝ kümelerinde de geçerlidir. Doğal sayılarda ise her zaman geçerli değildir.
3. Soru: Sayı kümelerinin kapalılığıyla ilgili genellemenizi yazınız. Cevap:
ℕ: + ve × işlemlerinde kapalıdır.
ℤ: +, − ve × işlemlerinde kapalıdır.
ℚ: +, −, × ve sıfır olmayan sayıya bölmede kapalıdır.
ℝ: +, −, × ve sıfır olmayan sayıya bölmede kapalıdır.
ℕ: + ve × işlemlerinde kapalıdır.
ℤ: +, − ve × işlemlerinde kapalıdır.
ℚ: +, −, × ve sıfır olmayan sayıya bölmede kapalıdır.
ℝ: +, −, × ve sıfır olmayan sayıya bölmede kapalıdır.
4. Soru: Kapalılık özelliğine dair önermelerinizi oluşturunuz. Örnek Cevap: Doğal sayıların farkı veya bölümü her zaman doğal sayı değildir. Tam sayıların bölümü her zaman tam sayı değildir. Rasyonel ve gerçek sayılarda ise sıfıra bölme dışında dört işlem sonucunda yine aynı sayı kümesinde kalınır.
5. Soru: Gerçek sayıların bir alt kümesi olan A kümesini oluşturup dört işleme göre kapalılığını inceleyiniz. Örnek: A = {2k | k ∈ ℤ} çift tam sayılar kümesi olsun. Toplama: İki çift sayının toplamı yine çifttir. Kapalıdır. Çıkarma: İki çift sayının farkı yine çifttir. Kapalıdır. Çarpma: İki çift sayının çarpımı yine çifttir. Kapalıdır. Bölme: 2 / 4 = 1/2 ve 1/2 çift tam sayı değildir. Bu nedenle kapalı değildir.
6. Soru: Önermelerinizi matematiksel olarak doğrulayınız. Karşıt Örnekler:
ℕ: 4 − 7 = −3 ∉ ℕ ve 4/7 ∉ ℕ.
ℤ: 1/2 ∉ ℤ.
Bu örnekler ℕ'nin çıkarma ve bölmeye, ℤ'nin ise bölmeye göre kapalı olmadığını gösterir. ℚ ve ℝ: Bu kümelerde iki elemanın toplamı, farkı ve çarpımı yine aynı kümededir. Bölen sıfır olmadığı sürece bölüm de aynı kümede kalır. Sonuç: Kapalı olmayan bir işlemi göstermek için tek bir karşıt örnek yeterlidir. Kapalı olduğunu söylemek için ise özelliğin kümedeki bütün uygun elemanlar için geçerli olması gerekir.
ℕ: 4 − 7 = −3 ∉ ℕ ve 4/7 ∉ ℕ.
ℤ: 1/2 ∉ ℤ.
Bu örnekler ℕ'nin çıkarma ve bölmeye, ℤ'nin ise bölmeye göre kapalı olmadığını gösterir. ℚ ve ℝ: Bu kümelerde iki elemanın toplamı, farkı ve çarpımı yine aynı kümededir. Bölen sıfır olmadığı sürece bölüm de aynı kümede kalır. Sonuç: Kapalı olmayan bir işlemi göstermek için tek bir karşıt örnek yeterlidir. Kapalı olduğunu söylemek için ise özelliğin kümedeki bütün uygun elemanlar için geçerli olması gerekir.
Kapalılığı Kolay Hatırlayalım
ℕ: + ve × güvenli. − ve ÷ işlemlerinde kümenin dışına çıkılabilir.
ℤ: +, − ve × güvenli. Bölme sonucunda kesir çıkabileceği için ÷ kapalı değildir.
ℚ ve ℝ: Dört işlemde kapalılık vardır. Yalnız sıfıra bölme tanımsızdır.
KİTABIN TÜM CEVAPLARI
9. Sınıf Matematik 1. ve 2. kitaptaki diğer konu, etkinlik ve sayfa cevaplarına 9. Sınıf MEB Matematik Ders Kitabı Cevapları ana sayfasından ulaşabilirsiniz.