Öykü ile Yamaç, şekildeki gibi 2L ve 3L uzunluğundaki iplerin uçlarına bağladıkları m ve 4m kütleli cisimlerin yatay düzlemde

Soru : Öykü ile Yamaç, şekildeki gibi 2L ve 3L uzunluğundaki iplerin uçlarına bağladıkları m ve 4m kütleli cisimlerin yatay düzlemde düzgün çembersel hareket yapmasını sağlıyor. Bu cisimlerin kinetik enerjileri eşit olduğuna göre m kütleli K ve 4m kütleli L cismine etki eden merkezcil kuvvetlerin büyüklüklerinin FK/FL oranı kaçtır? (Yer çekimi ve hava direncinden kaynaklı etkiler ihmal edilmiştir.)

Kinetik enerjileri eşit olan cisimlerin merkezcil kuvvetlerinin büyüklüğü, kinetik enerji formülüne dayanarak hesaplanabilir. Kinetik enerji, cismi hareket ettiren kuvvetin işine eşittir:

K = İş

Ayrıca, merkezcil kuvvet, cismin çevresindeki dairesel yol boyunca iş yapar. İş, merkezcil kuvvetin cismin çevresinde yaptığı iş olarak ifade edilebilir:

K = F * s

Burada F, merkezcil kuvvetin büyüklüğüdür, s ise cismin çevresinde katettiği yolun uzunluğudur.

Öncelikle merkezcil kuvvetin büyüklüğünü hesaplayalım. Bir cismin düzgün çembersel hareketi sırasında merkezcil kuvvet, cismin hız vektörünün yönünü değiştirir, ancak hızın büyüklüğü sabit kalır. Bu nedenle, merkezcil kuvvetin işi, kinetik enerjiye eşittir:

F * 2πr = 1/2 * m * v²

Burada r, cismin yörünge yarıçapıdır, m ise cismin kütlesidir, v ise cismin hızıdır. Cisimlerin kinetik enerjileri eşit olduğuna göre, m ve 4m kütleli cisimlerin hızları arasında bir ilişki vardır:

1/2 * m * v1² = 1/2 * 4m * v2²

Bu denklemi çözerken m'leri sadeleştirebiliriz:
v1² = 4 * v2²

Şimdi, FK/FL oranını hesaplayalım:
FK/FL = (1/2 * m * v1²) / (1/2 * 4m * v2²)

m'leri sadeleştirelim:
FK/FL = (1/2 * v1²) / (1/2 * 4 * v2²)
FK/FL = (v1²) / (4 * v2²)

Şimdi, v1 ve v2 arasındaki ilişkiyi kullanarak hesaplayabiliriz. İlk denklemi hatırlayarak:
v1² = 4 * v2²

Bu denklemi FK/FL oranına yerleştirelim:
FK/FL = (4 * v2²) / (4 * v2²)
FK/FL = 1

Sonuç olarak, FK/FL oranı 1'dir.